• 2005-04-02

    [星丛]概率的困惑 - [星丛]

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        数学与物理乃至哲学,永远不会停止困惑我的脚步。无论一个理论显得多么基础化或者古典,甚至是我们的宇宙何以定义1+1=2,根据哥德尔不完备性定理,这些都是会让我们困惑的。
        我常会觉得自己对事物质疑的心态过重,可是又像一种天性挥之不去。DD因为我对物理电和磁本质的过分臆想性猜测而在评论中“谴责”了我,我想其中很重要的原因是我的物理题还做得很烂,可现在我似乎要变本加厉,这次我要不顾数学题同样做得烂的情况,质疑他的数学。

        第一个困惑起于这周概率学的第一堂课,那时候我在概率学方面连门都没入,只是懂得抛硬币。可我不经意地还是提出了些荒唐的设想,绝对的荒唐:
        在完全相同的条件下(注意,是完全相同,而非概率学中所谓的“条件相同”)抛硬币,你会得到正反面的什么概率?好我再设计清楚一些,一个无宇宙射线干扰、无自转、重力场均匀分布的真空星球上,用最精确的力场抛起一个完全材质均匀的硬币,抛的时候着力点相同,接硬币的高度也相同。
        如果我第一次抛到正面,那第二次同样做法下有可能抛到反面吗?
        是的,不可能,这时候正面概率是100%,因为完全相同的条件。
        这个设计看起来够绝对化,纯粹的理想化,那我们把它现实化。就是说,现在我们加入宇宙射线干扰,加入自转,加入重力场不均匀,加入空气阻力,加入用力不均,加入接硬币高度不同……
        好了,现在的试验结果将得到正反两面概率为1:1。
        为什么会这样?哦你说这是废话,加入这么多干扰当然会这样。
        对了,出现概率的原因是因为干扰。在一个绝对没有影响的环境下,事件发生的结果是唯一的。

        不要把我以上的话当成定论,事实上当时我想到这里时非常惊讶。为什么会这样?自从我初步理解量子力学讲的是什么后,我开始信仰的就是混沌论而非决定论。可现在问题很清晰了,如果“概率只是无数细小必然性事件的复杂表现”,那这个世界的根本究竟是什么?
        我要补充一下什么叫“无数细小必然性事件”。如果只对绝对无影响环境加入一种干扰,比如用力不均,那么不同的力导致硬币被弹到不同高度进行不同速度的旋转从而在落下时得到不同的面,这些都是可以通过牛顿定律精确计算出来的(只加入一种干扰)。众所周知,牛顿三定律是决定论的基石,当年雄心勃勃要用决定论统治世界的物理学家们,都是从牛顿三定律的万能性开始的(直到后来相对论的出现)。也就是说,用1N的力抛出了正面,那么我变化成2N的力,在不考虑其他干扰的情况下是可以计算出能抛出什么面的。
        想到这里的结论是:概率的出现只是因为复杂的因果关系,即复杂的必然过程。
        在此基础上我又设想了几个更复杂的模型,看看能不能用这种说法来解释(比如从箱中摸球),在辉辉的帮助下都成功了。也就是说我能想到的概率性事件,我都可以把它化归成“细小必然事件的组合”。而且进一步我想到,各种概率的出现,比如抛硬币正反面都是50%,是因为各种“干扰”对正反面的影响程度都是一样的,而如抛图钉,则在于本身质量分布不均对“尖”和“帽”的影响不同。
        在数学界对随机概率的定义中,所说的是“相同条件下进行同一事件得到不同结果”,很明显,这个“相同条件”只是相对的“相同”,而非真正意义上的“相同”。另外,我的这种想法其实对概率学没有影响,因为概率学更多是一种应用的数学,是在概率现象存在上的数学技巧演绎,它们是正确的。
        但是,如果我想的是对的,那无疑是可怕的。
        因为一个以决定论为基础的世界,任何事件都是可预测的。虽然测不准原理我无法推翻(其实我目前都不知道海森堡测不准原理是如何推导出来的),但是从我最狭义的理解来看,如果能记录每一个原子的运动,那么就可以模拟一个事件的发生(因为上面说了,事件中的概率是由细小的必然事件组成的)。可是我很快又想,记录一个原子的信息需要用更多的原子,这样一来整个宇宙的原子就不足以模拟整个宇宙(还不说更准确的那些记录夸克或中微子),好像这就限制了我们推导未来。
        不不,如果开启科幻的想法,我们甚至可以开辟一个高维的空间,比如在四维空间中存储大量三维的资料是非常容易而无限制的。
        就此打住,目前的技术无法证明这一点(如果技术足够,可以模拟一个很小事件的发生,比如抛硬币),我也仅在此提出质疑。

        第二个困惑其实并不能称之困惑,只是有些暂时想不通个中关系,或者说觉得所学概率理论对一些问题没有阐明清楚。
        最初概率这一说法是在人们大量的重复随机事件试验中总结而出的。比如抛硬币,上万次抛投后发现正反两面比例极限性接近1:1,因此定义0.5为抛硬币正面的概率。也就是说,每次抛硬币有0.5的概率抛中正面。
        因此概率是在宏观数量中总结出来的,其实也是从宏观数量才能体现出所谓“概率”。但是概率论把“概率”运用在每一次事件中,而且如抛硬币等事件被定义为“独立事件”(即每次事件发生不受其他事件结果的影响)。那么就出现一个问题:每次抛硬币正面概率0.5,而且不会影响以后抛硬币的结果,那为何在所有宏观数量的试验中无一例外地呈现出“概率”的规律?既然每一次相互不会影响,那为何宏观试验的结果却仿佛被一种强大力量控制在一个“概率”的范围,这样说有点本末倒置(毕竟是宏观上找到概率现象才有了独立事件的概率的定义),但概率学好像并未对此说明。
        也许这是宇宙基本法则之一:微观与宏观之间(无论是抽象还是具象)只有过渡性而无界线性。好多东西我不知道,有时候想想再笑笑,对于目前仍主用于应用数学发展的概率学(不涉及世界本质讨论),或者不应要求那么多。
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