• 2007-09-27

    [星丛]讨论下“事件独立”的定义 - [星丛]

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        今晚在选修的“现当代中国文学解读”课上看完了乔治·奥威尔的《向加泰罗尼亚致敬》,心情颇为沉重复杂……这是一次完全地颠覆我对某一历史事件看法的过程,在这里,我向乔治·奥威尔和所有曾战斗在抵抗佛朗哥前线的西班牙民兵们致敬。

        下面我讨论点轻松的话题,关于概率论中对“事件相互独立的定义”:

        定义:若两事件A、B,满足P(AB) = P(A)P(B),则称A、B(或B、A)相互独立。

        好,那么我们看下面这个例子。设在掷骰子中,事件为A为“掷到1、2、3”点,事件B为“掷到2、4“点,下面我们可以计算

        P(A)=1/2    P(B)=1/3     P(AB)=1/6 (因为仅当掷到2时,A、B同时发生)

        也就是说,事件A、B相互独立。

        于是让诸位常识性困惑的地方就来了,在一个掷骰子的过程中,两个关于点数的事件怎么可能独立?这两个事件是不相干的??也就是说一个发生与否对另一个毫无影响??

        事实上这就是上课时让我困惑不已的,于是俺问老师如果将事件B改为“掷到2、4、5“,则A、B将从定义上成为不独立,而给事件B中添加一个毫不相干的“5”竟然会影响这两事件的独立性?!老师同学告诉俺,这个非常难以解释和理解,以至于结果就是我得自己解决这个问题。

        那么我们采用更通用的描述来进行计算,就是所谓的条件概率描述。在这种描述下,P(AB)=P(A|B)*P(B)。P(A|B)指的是在B事件已经确知发生的情况下,A事件发生的概率。

        于是我们不难得到P(A|B)=P(A)(结合独立事件概率的计算和条件概率的计算),而这个结论也是概率论中对“两事件相互独立”的另一等价定义。

        下面给出我的看法:

        在这个例子中,我认为出现P(A|B)=P(A)纯粹是一种巧合,我们甚至可以推导出会造成巧合的公式:|A|*|B|=|Ω|*|AB|。

    (解释:|A|是指集合A中包含的元素个数,|AB|是指集合A、B交集的元素个数,|Ω|是样本空间中元素的个数)

        而我们在面对这个困惑时实际上出现了两种对“事件独立性”的定义。一种就是概率论中的数学表达定义,一种是我们常规理念中的定义,即“事件是否发生之间不存在联系和影响”的才叫独立性。我们可以因此提出很多例子,比如“你去吃饭”和“我去睡觉”就是相互独立的事件,这些给我们的感觉是,常规理念中的定义非常合理,那我们为何要在数学中提出一种在特例和巧合中会有悖常规想法的定义?

        于是我们不妨做一种尝试:把我们常规理念中的独立性定义转换成数学形式表达。

        我很希望能有人做到,我不希望因为我自己的无能而否定一种更有美好的定义诞生。可根据我的拙劣分析,我们常规理念中的定义是非常具象化的,考虑两件事是否相互独立,站在常规理念的定义角度,我们总是从事件的物理属性和生活常识来推断“事件发生与否之间会不会相互影响”。于是我认为要将这种定义转换成数学表达,不是说绝对不可能,但至少是非常复杂以至至今似乎都没有哪位NB能解决。而就算能解决这种转换,转换的结果又能保证在数学体系中可用?这么一个基本定义搞得复杂非凡,对这门应用性如此庞大的数学分支简直就是噩梦。

        但是你问难道概率论可以忍受这么一个似乎不太严谨(因为有“巧合”)的基本定义存在?

        好吧,现代概率论仍算一门年轻的数学,但并不意味着投身其中的数学家们不够NB。我发现,只要保证了P(A|B)=P(A),那么利用P(A)进行计算在实际上就是用P(A|B)在进行计算,也就是说对于这种“巧合”例子的计算都会在正确的保证下进行(因为更广义的P(A|B)可以保证正确)。也就是说这种定义除了在我们理解上造成些小麻烦之外,对于应用性上的计算是没有坏的影响的,反而显得非常方便(因为定义得非常清晰和容易证明)。我相信这个问题一定也被提出此定义的那位数学家充分考虑过,而他最后做出了一个充满智慧却引起愚人疑惑的决定。

        不过今天上课又发现了一点东西,就是那个所谓“两两独立并不一定相互独立”的问题。我们又可举例如下,又是那个倒霉的掷骰子的问题,只不过现在把样本空间Ω扩大为{1,2,3,4,5,6,7,8},即这是一个八面骰子,可以掷出八种点数,然后我们定义如下事件:

        A={1,2,3,4}    B={3,4,5,6}     C={5,6,7,8}

        以上三个事件均表示掷出点数的事件。简单计算可知:P(AB)=P(A)*P(B),P(BC)=P(B)*P(C),P(AC)=P(A)P(C)。于是我们可以说,A、B、C三个事件两两独立。

        那么我们再观察可知,P(ABC)=0。因为无论掷到几点,都不可能导致A、B、C事件同时发生。

        于是P(ABC)≠P(A)*P(B)*P(C),也就不满足所谓“相互独立”的定义。

        好的,我们会发现,没学过概率论的人一接触这个“两两独立并不一定相互独立”的观点都会感到非常疑惑,因为这个也似乎很有悖生活常识,或者说此命题的特例一定要非常复杂地去精心编织才能找出来。我们从浅层次来看这里的问题是,两两独立无法证明出相互独立(根据独立性的概率论定义),也就是说我们在知道两两独立的前提下,无法证明“P(A)和P(BC)相互独立”(或者其他形式)这样的东西。

        我目前所接触的“两两独立一定相互独立”的反例仅此一例,于是我还想再说说我的看法:

        这种例子应该是非常稀少的,或者也可以形容为一种“巧合”,因为它其实就是我们讨论的第一个问题影响的延续。如果按照我们“常规理念的事件独立性定义”,A、B、C三个事件之间根本不存在独立关系,事实上它们是相互影响的,所以在我们的“常规理念”中这个例子根本无法证明“两两独立并不一定相互独立”,因为他们根本不两两独立。所以我敢猜想,在“常规理念”中“两两独立就是相互独立”,因为目前我没有找到任何反例的灵感。

        所以我们可以看到,因为概率论对事件独立性的一种可能产生疑惑的定义,而进一步导出的某些结论也受到了影响,从而造成数学体系与我们的生活思维体系的一点不吻合。

        嗯,目前讨论到此。

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    评论

  • 呃,本数学菜鸟认为,这其实是语言的问题,就是数学逻辑上的“独立”和日常生活逻辑上的“独立”不不能混同理解,否则就没必要搞出“两两独立"和“相互独立”两个不同的概念来。科学有自身的逻辑体系,好比日常生活中非欧几何和相对论完全不可理喻。解决这个问题的最简便方法,是用一个新的词来取代“独立”在概率中所指的意义:)
    回复记得忘记说:
    嗯不错的想法,找个词代替了就没那么多废话了,不过也许会形成哲学中无数的新词而形成一个让人畏惧的表达体系的情景……
    不过还鉴于概率论是完全从现实生活中产生的研究方向,其最大量的应用也是在现实中,所以这门学问如果变成纯粹的数学理论讨论(即其中的概念若与现实完全脱节),也就丧失了这门数学分支最主要的应用内容。
    2007-09-30 00:16:15
  • it is disturbing.
    回复luren说:
    Is it? Which disturbs you, the puzzlement I come up with or my discussion?
    2007-09-29 00:11:55
  • 關于兩兩獨立的問題.今天得到的答復是:三個以上物體要求他們之間兩兩獨立幷且三三獨立,才可以稱爲"相互獨立",她說一個經典的例子,一個正四面體的骰子.其中三面分別是紅.黃.藍三種顔色.餘下一面三種顔色都有.現在P(紅)=P(黃)=P(藍)=1/2.幷且任意兩種顔色同時出現的概率爲1/4.但是P(紅綠藍)=1/4不等于1/2...
    就這樣...

    關于第一個倒黴的骰子等再研究研究再說...
    回复Rainy说:
    嗯,这就是概率论中对此的定义,你的老师所举例子与俺老师所举的其实没有本质区别,都没有突破掷骰子这类事情的框架。根据我们的“常规理念定义”,在掷骰子中设置任何两事件是关于掷骰子结果的点数,这两事件都不是相互独立的,所以这一类的例子就根本无法证明在“常规理念定义”下“两两独立不一定相互独立”。
    其实我感兴趣的是由于“数学定义”与“常规理念定义”的有所出入而会造成的影响,“两两独立和相互独立”的关系问题只是一个讨论方面而已。
    2007-09-29 00:09:53
  • 于是俺问老师如果将事件B改为“掷到2、4、5“,则A、B将从定义上独立...

    P(A)=1/2 P(B)=1/2 P(AB)=1/6
    是不独立吧...难怪一开始没看懂...
    回复Rainy说:
    汗,严重SORRY,叫这个死鬼学校断网,逼我写得那么急(却还是写不完)……
    2007-09-27 20:54:11